domingo, 19 de octubre de 2008

MAXIMOS Y MINIMOS CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva. Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

Es decir, la función es creciente en
En este caso , es decir, la función es decreciente en x = a .
Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.
Se procede de la siguiente forma:
Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante
Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.
Ejemplo 1.
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 
Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos , y
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función   

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.
Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces
En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente
Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ,Si y existe la segunda derivada, se verifica: Si , hay un mínimo relativo en el punto c
Si , hay un máximo en dicho punto.
Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.
Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada:
Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.
Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.
Criterio de la segunda derivada:
Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.
Hallamos la segunda derivada.
Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.
Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.