Teoria General de Sistemas

Caracteristicas de los Sistemas

Sistema es un todo organizado y complejo; un conjunto o combinación de cosas o partes que forman un todo complejo o unitario. Es un conjunto de objetos unidos por alguna forma de interacción o interdependencia. Los límites o fronteras entre el sistema y su ambiente admiten cierta arbitrariedad.
Según Bertalanffy, sistema es un conjunto de unidades recíprocamente relacionadas. De ahí se deducen dos conceptos: propósito (u objetivo) y globalismo (o totalidad).

•Propósito u objetivo: todo sistema tiene uno o algunos propósitos. Los elementos (u objetos), como también las relaciones, definen una distribución que trata siempre de alcanzar un objetivo.

•Globalismo o totalidad: un cambio en una de las unidades del sistema, con probabilidad producirá cambios en las otras. El efecto total se presenta como un ajuste a todo el sistema. Hay una relación de causa/efecto. De estos cambio y ajustes, se derivan dos fenómenos: entropía y homeostasia.

•Entropía: es la tendencia de los sistemas a desgastarse, a desintegrarse, para el relajamiento de los estándares y un aumento de la aleatoriedad. La entropía aumenta con el correr del tiempo. Si aumenta la información, disminuye la entropía, pues la información es la base de la configuración y del orden. De aquí nace la negentropía, o sea, la información como medio o instrumento de ordenación del sistema.

•Homeostasia: es el equilibrio dinámico entre las partes del sistema. Los sistemas tienen una tendencia a adaptarse con el fin de alcanzar un equilibrio interno frente a los cambios externos del entorno. Una organización podrá ser entendida como un sistema o subsistema o un supersistema, dependiendo del enfoque. El sistema total es aquel representado por todos los componentes y relaciones necesarios para la realización de un objetivo, dado un cierto número de restricciones. Los sistemas pueden operar, tanto en serio como en paralelo.

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MAXIMOS Y MINIMOS CRITERIOS DE LA PRIMERA DERIVADA

Crecimiento y decrecimiento.

Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva. Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.

Es decir, la función es creciente en
En este caso , es decir, la función es decreciente en x = a .

Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y decreciente.
Se procede de la siguiente forma:

• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante

• Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.

• Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.
Ejemplo 1.
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: 
Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos , y
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir, positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + Función   

Máximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.
Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces
En el punto de abscisa x = c la función pasa de creciente a decreciente
Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal ,Si y existe la segunda derivada, se verifica: Si , hay un mínimo relativo en el punto c
Si , hay un máximo en dicho punto.
Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego Y como , , es decir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.
Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada:
• Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

• Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.

• Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.
Criterio de la segunda derivada:

• Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.

• Hallamos la segunda derivada.

• Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.

• Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.

DIFERENCIALES

Concepto de diferencial

La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f’(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como: y-f(x0)=m(x-x0).

Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.

Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:

1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.
2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy.

Mas precisa se encuentra la siguiente definición:

Definición de diferencial (informal)

Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f ‘(x) dx. ‘’‘Concepto de diferencial .La forma en que hemos abordado el concepto de derivada, aunque existen varios conceptos, fue el encontrar la relación de la pendiente de la línea recta y =f ´(x) que era tangente a la función. Para un punto en particular podemos llegar a la definición de la derivada f ‘(x) y vimos que f ‘(x1) es la pendiente de la recta tangente a la curva en x=x1.

En particular, para una función y=f(x) para un valor inicial x0 se tiene la pendiente de la línea recta tangente en las coordenadas [x0,f(x0)], dada por la m=f’(x0). Cuya ecuación de la línea recta tangente queda entonces definida como:
y-f(x0)=m(x-x0)

Ante un cambio en la variable x podemos determinar el incremento x0 por x0+dx, donde el incremento dx es comúnmente un incremento pequeño, pero no cero, llamado diferencial en x.

Analizando el sistema función y línea recta tangente a dicha función entonces podemos analizar que existen dos puntos importantes a analizar, los de la función y los de la recta tangente:

1) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de f designaremos la notación dy.
2) Para referirnos al cambio que ocurre en el valor de y para la recta tangente utilizaremos la notación dy.
Mas precisa se encuentra la siguiente definición:

Definición de diferencial (informal)

Sea y=f(x) una función derivable en un intervalo abierto que contiene al número x.

Se define a la diferencial de x como dx, cualquier número real diferente de cero.

Se define a la diferencial de y como dy, dado por dy=f ‘(x) dx.

Serie de Taylor

SERIE DE TAYLOR

La función p(x)=a0+a1x+a2×2+……….+anxn, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.
Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios, para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el bachillerato.
A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, …, pero, aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas: ¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.
Fórmula de Taylor
Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los órdenes.
El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ‘ (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.
Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ‘ (a) (x-a) + ½ f ‘ ‘ (a) (x-a)2, tal que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la

fórmula de Taylor:
f(x) ≈ f(a) + f ‘(a) (x-a) + (1/2!) f ‘ ‘(a) (x-a)2 + …… + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n
El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x puede calcularse el valor de este polinomio se se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras derivadas.
Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más rápidamente que (x-a)n. Además , es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n. Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una verdadera igualdad.
Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un término más, llamado resto:
f(x) = f(a)+f ‘(a)(x-a)+(1/2!) f ‘ ‘(a)(x-a)2+ …… +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)©(x-a)n+1
El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso, no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al intervalo de extremos a y x.
La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.
Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.
La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado, es muy importante desde el punto de vista prático.
La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.

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Funciones Trigonometricas

Funciones Trigonometricas

Una función trigonométrica, también llamada circular, es aquella que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente, que ha de estar expresada en radianes. Existen seis clases de funciones trigonométricas: seno y su inversa, la cosecante; coseno y su inversa, la secante; y tangente y su inversa, la cotangente. Para cada una de ellas pueden también definirse funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, etcétera.

La función seno
Se denomina función seno, y se denota por f (x) 5 sen x, a la aplicación de la razón trigonométrica seno a una variable independiente x expresada en radianes. La función seno es periódica, acotada y continua, y su dominio de definición es el conjunto de todos los números reales.

La función cosecante puede calcularse como la inversa de la función seno expresada en radianes.

La función coseno
La función coseno, que se denota por f (x) = cos x, es la que resulta de aplicar la razón trigonométrica coseno a una variable independiente x expresada en radianes. Esta función es periódica, acotada y continua, y existe para todo el conjunto de los números reales.

La funcion secante
La función secante se determina como la inversa de la función coseno para un ángulo dado expresado en radianes.



La función tangente
Se define función tangente de una variable numérica real a la que resulta de aplicar la razón trigonométrica tangente a los distintos valores de dicha variable. Esta función se expresa genéricamente como f (x) = tg x, siendo x la variable independiente expresada en radianes.
La función cotangente es la inversa de la tangente, para cualquier ángulo indicado en radianes.

Propiedades de las funciones trigonométricas
Como características importantes y distintivas de las funciones trigonométricas pueden resaltarse las siguientes:
Las funciones seno, coseno y tangente son de naturaleza periódica, de manera que el periodo de las funciones seno y coseno es 2p y el de la función tangente es p.
Las funciones seno y coseno están definidas para todo el conjunto de los números reales. Ambas son funciones continuas (no así la función tangente).
Las funciones seno y coseno están acotadas, ya que sus valores están contenidos en el intervalo [-1,1]. La función tangente no está acotada.
Las funciones seno y tangente son simétricas respecto al origen, ya que sen (-x) = -sen x; tg (-x)=-tg x. En cambio, la función coseno es simétrica respecto al eje Y: cos (-x) = cos x.

Aplicando lo dicho anteriormente, aqui tenemos algunos ejemplos.

formula de seno:

ejemplo:

ejemplo coseno:









ejemplo tangente:

Derivada De Las Funciones Compuestas

DERIVADA DE LAS FUNCIONES COMPUESTAS

En cálculo, la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones. Descripción de la regla: En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto a x puede ser computado como el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Formula Utilizada:

donde :

indica que Y depende de U como si esta fuera una variable.

Ejemplos:

sacar derivada de: Y sacar deriva de :U

aplicacion de formula:

Colaboradores de Wikipedia. Regla de la cadena [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2008 [fecha de consulta: 12 de octubre del 2008]. Disponible en <http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Regla_de_la_cadena&oldid=20884883>.

Derivada Sucesiva

DERIVADA SUCESIVA

Si la función f ‘ es derivable, podemos calcular la derivada de esta función y obtenemos una nueva función que llamamos derivada segunda de f y representamos por f ‘’.
Si razonamos de forma análoga con f , podemos obtener la derivada tercera de f que llamamos f ’ y así sucesivamente: f iv, f v, …

La formula que se utiliza para este tipo de deriva es:

ejemplo:

ejemplos :

Derivar hasta su 6ta derivada.

ejemplo: Encontrar su 3ra derivada

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